Уравнения разных степеней. Уравнения разных степеней Уравнения третьей и четвертой степени

• В начале 16в. многие математики бились над решением алгебраических уравнений 3 – ей степени.
• Решения линейных и квадратных уравнений были известны еще в античности, а кубические уравнения долго не поддавались.

Исторические факты.

Большой вклад в решение уравнений 3 и 4 степеней внесли итальянские математики 16 века:

• Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори

Н. Тарталья (1499-1557)

• Д. Кардано (1501-1576) его ученик – Л. Феррари

Р. Бомбелли (1530-1572)

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

Рассмотрим произвольное кубическое уравнение:

И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду:

Положим т.е. Тогда данное уравнение

примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач.

Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению

И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, предложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения

Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне.

Рассмотрим уравнение

Тарталья использовал подстановку:

Из уравнения он получил:

Для u и v получена система

Значит, они являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, для отыскания х имеем формулу

• Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах».
• Джироламо Кардано (1501-1576) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени:

С помощью подстановки его можно привести к виду

Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем:

Феррари ввел параметр и получил:

Учитывая, получим

В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю.

• Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано.
• Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде
• Отсюда получаем два квадратных уравнения:
• Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение

Легко проверить, что -корень этого уравнения.

По формуле находим:

Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок. 1526-1573), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i , такое, что

Бомбелли сформулировал правила операций с числом

Согласно теории Бомбелли, выражение можно записать так:

А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.

ИСТОРИИ ^ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕН

Конец XV - начало XVI вв. были периодом бурного развития в Италии математики и особенно алгебры. Было найдено общее решение квадратного уравнения, а также многие частные решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Стало обычным явлением проведение турниров по решению уравнений различных степеней. В начале XVI века в Болонье профессором математики Сципионом дель Ферро было найдено решение следующего кубического уравнения:

Ю. С. Антонов,

кандидат физико-математических наук

Откуда 3АВ(А + В) + р(А + В) = 0. Сокращая на

(А + В), получим: АВ = -Р или Я + г ■ 3-Я - г = -Р. Откуда -{РТ = ^ - г2.

Из этого выражения находим, что г = ±Л[Р + Р.

z3 + az2 + Ьх + с = 0.

Заменой х = г - это уравнение сводится к виду: 3

х3 + рх = q = 0 .

Ферро решил искать решение этого уравнения в виде х = А + В,

где а=3 - 2+г, в=3 - 2 - г.

Подставляя это выражение в уравнение (1), получим:

1 + г + 3А2В + 3АВ2 г + р(А + В) + я = 0 .

Сципион дель Ферро (1465 - 1526 гг.) -итальянский математик, открывший общий

метод решения неполного кубического уравнения

На фото вверху - математики XVI века (средневековая миниатюра)

Таким образом, исходное уравнение имеет решение х = А + В, где:

*=Иг? ■ в=■ ®

Ферро передал секрет решения уравнения (1) своему ученику Марио Фиоре. Последний, пользуясь этим секретом, стал победителем в одном из математических турниров. В этом турнире не участвовал победитель многих турниров Никколо Тарталья. Естественно, возник вопрос поединка между Тартальей и Марио Фиоре. Тарталья верил словам авторитетного математика Пич-чоли, который утверждал, что кубическое уравнение в радикалах решить невозможно, поэтому он был уверен в своей победе. Однако за две недели до начала поединка он узнал, что Ферро нашёл решение кубического уравнения и передал свой секрет Марио Фиоре. Приложив, буквально, титанические усилия, он за несколько дней до открытия турнира получил своё решение кубического уравнения (1). 12 февраля 1535 г турнир состоялся. Каждый участник предложил своему противнику 30 задач. Проигравший должен был угостить победителя и его друзей торжественным обедом, причём количество приглашённых друзей должно было совпадать с количеством решённых победителем задач. Тарталья за два часа решил все задачи. Его противник - ни одной. Историки науки объясняют это следующим образом. Рассмотрим уравнение:

х3 + 3 х - 4 = 0 .

Это уравнение имеет единственный вещественный корень х = 1. Тогда по формуле Ферро мы получим:

х = 3/2+/5 + -л/5 .

Выражение, стоящее слева от знака равенства, должно равняться 1. Тарталья, как опытный турнирный боец, запутал своего противника такого рода иррацио-нальностями. Следует заметить, что Тарталья рассматривал только такие кубические уравнения, у которых А и В были вещественными.

Формулой Тартальи заинтересовался известный учёный Джероламо Кардано. Тартальи передал ему своё решение с условием, что Кардано может его опубликовать только после публикации Тартальи. Кардано в своих исследованиях пошёл дальше Тартальи. Он заинтересовался случаем, когда А и В являются комплексными числами. Рассмотрим уравнение:

х3 - 15х-4 = 0 . (3)

По формуле (2) получим:

А = + 7 4 -125 = ^2 + 11л/-1 = ^2 +111 ,

Последователь Кардано, Рафаель Бомбелли, догадался, как из таких выражений получать решения кубических уравнений. Он увидел, что для данного кубического уравнения А = 2 +1, В = 2 -1. Тогда х = А + В = 4 ,

Никколо Фонтана

Тарталья (1499 - 1557 гг.) -итальянский математик

т.е. будет корнем уравнения (3). Считается, что Кардано тоже получил такого рода решения некоторых кубических уравнений.

Через некоторое время после получения формулы Тартальи, Кардано узнал решение Ферро. Он был удивлён полным совпадением решений Тартальи и Ферро. То ли потому, что Кардано узнал решение Ферро, то ли по какой-то другой причине, но в своей книге «Великое искусство» он опубликовал формулу Тартальи, правда, указав авторство Тартальи и Ферро. Узнав о выходе книги Кардано, Тарталья был смертельно обижен. И, может быть, недаром. Даже сегодня формулу (2) чаще называют формулой Кардано. Тарталья вызвал Кардано на математический поединок, но последний отказался. Вместо него вызов принял ученик Кардано, Феррари, который не только умел решать кубические уравнения, но и уравнения четвёртой степени. В современных обозначениях решение уравнений четвёртой степени имеет следующий вид:

Пусть имеем уравнение z4 + pzi + qz2 + sz + г = 0 .

Сделаем замену т = х + р. Тогда уравнение примет вид х4 + ах2 + Ьх + с = 0. Введём вспомогательную переменную t и будем искать решение в виде:

Джероламо Кардано (1501 - 1576 гг.) -итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог

Лодовико (Луиджи) Феррари (1522 - 1565 гг.) -итальянский математик, нашедший общее решение уравнения четвёртой степени

x2 + ti = 2tx2 - bx + 1 t2 + at + c

Переменной t присвоим такое значение, чтобы дискриминант квадратного уравнения в правой части равнялся нулю:

Ь2 - 2t (2 + 4at + а2 - 4с) = 0.

Приведём это выражение к виду:

8t3 + 8at2 + 2(а2 - 4су - Ь = 0 . (5)

Чтобы указанный дискриминант равнялся нулю, надо найти решение кубического уравнения (5). Пусть ^ - корень уравнения (5), найденный методом Тарта-льи-Кардано. Подставляя его в уравнение (4), получим:

(х2 + 2 +)" = * (X + ±

Перепишем это уравнение в виде:

a+t0\=±^2T0\x+-ь

Таким образом, решение уравнения четвёртой степени методом Феррари свелось к решению двух квадратных уравнений (6) и кубического уравнения (5).

Поединок Тарталья - Феррари состоялся 10 августа 1548 г. в Милане. Рассматривались уравнения третьей и четвёртой степеней. Удивительно, но Тарталья несколько задач всё-таки решил (у Феррари, наверняка, все задачи были на решение кубических уравнений с комплексными А, В и на решение уравнений четвёртой степени). Феррари решил большинство из предложенных ему задач. В итоге Тарталья потерпел сокрушительное поражение.

Практическое применение полученных решений весьма невелико. Численными методами эти уравнения решаются со сколь угодно большой точностью. Однако эти формулы внесли большой вклад в развитие алгебры и, в частности, в развитие способов решения уравнений высоких степеней. Достаточно сказать, что следующий шаг в решении уравнений был сделан только в XIX в. Абель установил, что уравнение п-ой степени при п > 5 , в общем случае, невозможно выразить в радикалах. В частности, он показал, что уравнение х5 + х4 + х3 + х2 + х +1 = 0 разрешимо в радикалах, а более простое, на первый взгляд, уравнение х5 + 2х = 2 = 0 в радикалах неразрешимо. Галуа полностью исчерпал вопрос о разрешимости уравнений в радикалах. В качестве примера уравнения, всегда разрешимого в радикалах, можно привести следующее уравнение:

Всё это стало возможным в связи с появлением новой глубокой теории, а именно теории групп.

Список литературы

1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, Э. Ф. Шибасо-ва. - М. : Просвещение: АО «Учебная литература», 1996. - 320 с.

2. Гиндикин, С. Г. Рассказы о физиках и математиках / С. Г. Гиндикин. - 2-е изд. - М.: Наука, 1985. - 182 с.

ЛФХШ му&ръис мыслей

Наука только тогда благотворна, когда мы её принимаем не только разумом, но и сердцем.

Д. И. Менделеев

Вселенную нельзя низводить до уровня человеческого разумения, но следует расширять и развивать человеческое разумение, дабы воспринимать образ Вселенной по мере её открытия.

Френсис Бэкон

Примечание. В статье использованы иллюстрации с сайта http://lesequations.net

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

Омар Хайям(1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Николо Тарталья (1499 – 1557)

Решил уравнение в радикалах

Джероламо Кардано(1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле. Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас учат решать ещё с первого класса, и особого интереса к ним не проявляют. Интересны нелинейные уравнения т.е. больших степеней. Среди нелинейных (уравнений общего вида, не решающихся разложением на множители или каким-либо другим относительно простым способом) уравнения низших степеней (2,3,4- й) можно решить с помощью формул. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Поэтому мы рассмотрим только три метода.

I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула: Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула: Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кв. трехчлена смотрят на знак D. Если D>0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D">

II. Теорема Виета Для любого приведённого кв. уравнения Для любого приведённого кв. уравнения Справедлива теорема Виета: Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени. Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени.

Вывод формулы Виета. Запишем формулу квадрата суммы Запишем формулу квадрата суммы И заменим в ней a на х, b на И заменим в ней a на х, b на Получим: Получим: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь нетрудно получить нужную формулу. Теперь нетрудно получить нужную формулу.

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Рассмотрим произвольное кубическое уравнение: И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду Пусть Получим: Положим т.е. Тогда данное уравнение примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач. Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, преложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне. Рассмотрим уравнение Тарталья использовал подстановку

Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах». Джироламо Кардано () окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить ее тайну. Он не сдержал слова и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». В книге Кардано «Великое искусство…» опубликована также формула для решения уравнений четвертой степени, которую открыл Луиджи Феррари ()- ученик Кардано, его секретарь и поверенный.

V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени: С помощью подстановки его можно привести к виду Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем: Феррари ввел параметр и получил: Отсюда Учитывая, получим В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. число t должно удовлетворять уравнению

Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Отсюда получаем два квадратных уравнения: Отсюда получаем два квадратных уравнения: Они дают четыре корня исходного уравнения. Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение Легко проверить, что -корень этого уравнения. Естественно считать, что, используя формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что По формуле находим: Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что Бомбелли сформулировал правила операций с числом Согласно теории Бомбелли,выражение можно записать так: А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так: