О применении теоремы виета при решении квадратных уравнений. Теорема Виета: примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями Формула виета для квадратного уравнения примеры

Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения , помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета . В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Навигация по странице.

Теорема Виета, формулировка, доказательство

Из формул корней квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 вида , где D=b 2 −4·a·c , вытекают соотношения x 1 +x 2 =−b/a , x 1 ·x 2 =c/a . Эти результаты утверждаются теоремой Виета :

Теорема.

Если x 1 и x 2 – корни квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a , то есть, .

Доказательство.

Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.

Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби , после чего : . Наконец, после на 2 , получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.

Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов , так . Дальше, вспомнив , выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b 2 −4·a·c , то в последнюю дробь вместо D можно подставить b 2 −4·a·c , получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:
,
.

Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0 , то есть, b 2 −4·a·c=0 , откуда b 2 =4·a·c , то .

На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a , равным 1 ) вида x 2 +p·x+q=0 . Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением , выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a . Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:

Теорема.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 равна коэффициенту при x , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q .

Теорема, обратная теореме Виета

Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x 1 и x 2 корни приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 , то справедливы соотношения x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q . С другой стороны, из записанных соотношений x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q следует, что x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 . Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.

Теорема.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 =−p и x 1 ·x 2 =q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Доказательство.

После замены в уравнении x 2 +p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x 1 и x 2 , оно преобразуется в равносильное уравнение .

Подставим в полученное уравнение вместо x число x 1 , имеем равенство x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0 , которое при любых x 1 и x 2 представляет собой верное числовое равенство 0=0 , так как x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 1 – корень уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, x 1 – корень и равносильного ему уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Если же в уравнение x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 подставить вместо x число x 2 , то получим равенство x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0 . Это верное равенство, так как x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 2 тоже является корнем уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, и уравнения x 2 +p·x+q=0 .

На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

Примеры использования теоремы Виета

Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров.

Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений . Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней.

Пример.

Какая из пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , или 2) , или 3) является парой корней квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Решение.

Коэффициентами заданного квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 являются a=4 , b=−16 , c=9 . Согласно теореме Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна −b/a , то есть, 16/4=4 , а произведение корней должно быть равно c/a , то есть, 9/4 .

Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями.

В первом случае имеем x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Полученное значение отлично от 4 , поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения.

Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Проверяем второе условие: , полученное значение отлично от 9/4 . Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения.

Остался последний случай. Здесь и . Оба условия выполнены, поэтому эти числа x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ:

Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере.

Возьмем квадратное уравнение x 2 −5·x+6=0 . Чтобы числа x 1 и x 2 были корнями этого уравнения, должны выполняться два равенства x 1 +x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6 . Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: такими числами являются 2 и 3 , так как 2+3=5 и 2·3=6 . Таким образом, 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений .

Для примера возьмем квадратное уравнение 512·x 2 −509·x−3=0 . Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Итак, x 1 =1 . Второй корень x 2 можно найти, например, из соотношения x 1 ·x 2 =c/a . Имеем 1·x 2 =−3/512 , откуда x 2 =−3/512 . Так мы определили оба корня квадратного уравнения: 1 и −3/512 .

Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x 1 и x 2 . Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример.

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23 .

Решение.

Обозначим x 1 =−11 и x 2 =23 . Вычисляем сумму и произведение данных чисел: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253 . Следовательно, указанные числа являются корнями приведенного квадратного уравнения со вторым коэффициентом −12 и свободным членом −253 . То есть, x 2 −12·x−253=0 – искомое уравнение.

Ответ:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Как же связана теорема Виета со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 ? Приведем два соответствующих утверждения:

• Если свободный член q – положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные.
• Если же свободный член q – отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный.

Эти утверждения вытекают из формулы x 1 ·x 2 =q , а также правил умножения положительных, отрицательных чисел и чисел с разными знаками. Рассмотрим примеры их применения.

Пример.

R он положителен. По формуле дискриминанта находим D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 , значение выражения r 2 +8 положительно при любых действительных r , таким образом, D>0 при любых действительных r . Следовательно, исходное квадратное уравнение имеет два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Следовательно, нас интересуют те значения r , при которых свободный член r−1 отрицателен. Таким образом, чтобы найти интересующие нас значения r , надо решить линейное неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Ответ:

при r<1 .

Формулы Виета

Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n . Их называют формулами Виета .

Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x 1 , x 2 , …, x n (среди них могут быть совпадающие):

Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители , а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.

В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .

Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид

Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.

При изучении способов решения уравнений второго порядка в школьном курсе алгебры, рассматривают свойства полученных корней. Они в настоящее время известны под названием теоремы Виета. Примеры использования ее приводятся в данной статье.

Квадратное уравнение

Уравнение второго порядка представляет собой равенство, которое показано на фото ниже.

Здесь символы a, b, c являются некоторыми числами, носящими название коэффициентов рассматриваемого уравнения. Чтобы решить равенство, необходимо найти такие значения x, которые делают его истинным.

Заметим, что поскольку максимальное значение степени, в которую возводится икс, равно двум, тогда число корней в общем случае также равно двум.

Для решения этого типа равенств существует несколько способов. В данной статье рассмотрим один из них, который предполагает использование так называемой теоремы Виета.

Формулировка теоремы Виета

В конце XVI известный математик Франсуа Виет (француз) заметил, анализируя свойства корней различных квадратных уравнений, что определенные их комбинации удовлетворяют конкретным соотношениям. В частности, этими комбинациями является их произведение и сумма.

Теорема Виета устанавливает следующее: корни квадратного уравнения при их сумме дают отношение коэффициентов линейного к квадратичному взятое с обратным знаком, а при их произведении приводят к отношению свободного члена к квадратичному коэффициенту.

Если общий вид уравнения записан так, как это представлено на фото в предыдущем разделе статьи, тогда математически эту теорему можно записать в виде двух равенств:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 х r 2 = c / a.

Где r 1 , r 2 - это значение корней рассматриваемого уравнения.

Приведенные два равенства можно использовать для решения ряда самых разных математических задач. Использование теоремы Виета в примерах с решением приведены в следующих разделах статьи.

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

1. Найдём сумму корней:

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1 . Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2 . У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

Сокращаем дробь на 2 и получаем:

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

= = = = = .

Докажем это уравнение:

Шаг 1 . Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3 . Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4 . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

Шаг 5 . Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

И , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

Шаг 3 . Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

Или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1 . Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

Получается:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

И Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

А произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
2. Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
3. Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

Например, для уравнения Зx 2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
т. е. - 2. А для уравнения х 2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х 1 и х 2 квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 находятся по формулам

Где D = b 2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

Теперь вычислим произведение корней х 1 и х 2 Имеем

Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х 1 и х 2 — корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. Тогда

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

Доказательство. Имеем

Пример 1 . Разложить на множители квадратный трехчлен Зх 2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх 2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх 2 - 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Воспользовавшись теоремой 2, получим

Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх 2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1 . Сократить дробь

Решение. Из уравнения 2х 2 + 5х + 2 = 0 находим х 1 = - 2,

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х 1 = 6, х 2 = -2. Поэтому
х 2 - 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3 . Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x 2 +6; б)2x+-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х 2 . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у 2 + bу + 6.
Решив уравнение у 2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x 2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2)(х 2 + 3).
б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у 2 + у - 3. Решив уравнение
2у 2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далее, используя теорему 2, получим:

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х 1 , х 2 таковы, что х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х 2 - 11х + 24 = 0. Здесь x 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Нетрудно догадаться, что х 1 = 8, х 2 = 3.

2) х 2 + 11х + 30 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Нетрудно догадаться, что х 1 = -5, х 2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х 2 + х - 12 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко догадаться, что х 1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х 1 = 1 — корень уравнения. Так как х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, то получаем, что х 2 = - .

5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х 1 = 283, х 2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0.
Имеем х 1 + х 2 = -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х 1 х 2 = q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х 2 -4х-32 = 0.

Формулировка и доказательство теоремы Виета для квадратных уравнений. Обратная теорема Виета. Теорема Виета для кубических уравнений и уравнений произвольного порядка.

Содержание

См. также: Корни квадратного уравнения

Квадратные уравнения

Теорема Виета

Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1) .
Тогда сумма корней равна коэффициенту при , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.

Замечание по поводу кратных корней

Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.

Доказательство первое

Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.

Находим сумму корней:
.

Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда

.

Теорема доказана.

Доказательство второе

Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.

.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.

Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2) ;
(3) .

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение
(1) .
Нам нужно доказать, что если и , то и являются корнями уравнения (1).

Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4) .

Подставим в (4) :
;
.

Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Теорема доказана.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5) ,
где , и есть некоторые числа. Причем .

Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ; .

Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.

Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.

Теорема Виета для кубического уравнения

Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6) ,
где , , , есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7) ,
где , , .
Пусть , , есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда

.

Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени

Тем же способом можно найти связи между корнями , , ... , , для уравнения n-й степени
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;

.

Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при , , , ... , и сравниваем свободный член.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.

См. также: